คณิตศาสตร์มัธยมศึกษาตอนปลาย ชุดที่ 2 (ฉบับ A): การทดลองสุ่มและการแสดงออกด้วยเซตของพื้นที่ตัวอย่าง

การทดลองสุ่ม (Random Trial)：เราเรียกการดำเนินการและสังเกตปรากฏการณ์แบบสุ่มว่าเป็นการทดลองสุ่ม หรือเรียกสั้นๆ ว่าการทดลอง โดยใช้ตัวอักษร $E$ เป็นตัวแทนโดยทั่วไป ในแต่ละการทดลอง ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทุกกรณีจะถูกเรียกว่าจุดตัวอย่าง (Sample Point)และเซตของจุดตัวอย่างทั้งหมดเรียกว่าพื้นที่ตัวอย่าง (Sample Space)โดยทั่วไปใช้สัญลักษณ์ $\Omega$ แทน

การอธิบายแนวคิดหลัก

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น เราใช้ภาษาเซตเพื่ออธิบายปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นแบบสุ่ม หากการทดลองใดมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้จำนวนจำกัด เราจะเรียกมันว่าพื้นที่ตัวอย่างจำกัดเช่น

การโยนเหรียญ: $\Omega = \{h, t\}$
การโยนเหรียญสองเหรียญ: $\Omega = \{(\text{หน้า, หน้า}), (\text{หน้า, หัว}), (\text{หัว, หน้า}), (\text{หัว, หัว})\}$

นอกจากนี้ การอนุมานทางสถิติมีความสำคัญมากในชีวิตจริง เช่นดัชนีมวลกาย (BMI) การศึกษา สำหรับผู้ใหญ่ชาวจีน กำหนดมาตรฐานดังนี้: $BMI < 18.5$ ถือว่าผอม; $18.5 \le BMI < 24$ ถือว่าปกติ; $24 \le BMI < 28$ ถือว่าอ้วนปานกลาง; $BMI \ge 28$ ถือว่าอ้วน

ตัวอย่างมีลักษณะสุ่ม ดังนั้นเมื่อใช้ตัวอย่างในการประมาณประชากร จะทำให้ผลการอนุมานทางสถิติมีความเป็นไปได้ ซึ่งเป็นสิ่งที่ควรระวังเมื่อนำผลทางสถิติมาอธิบายปัญหาจริง

$$BMI=\frac{\text{น้ำหนัก (กก.)}}{\text{ส่วนสูง}^2 (\text{ม}^2)}$$

คำถามที่ 1

เมื่อทอยลูกเต๋าที่มีความสมมาตร จำนวนจุดตัวอย่างในพื้นที่ตัวอย่าง $\Omega$ คือเท่าไร?

คำถามที่ 2

ข้อความใดต่อไปนี้เกี่ยวกับการทดลองสุ่มถูกต้อง?

ผลลัพธ์ของการทดลองสามารถระบุได้ก่อนที่จะเกิดขึ้น

เซตของจุดตัวอย่างทั้งหมดเรียกว่าพื้นที่ตัวอย่าง

จุดตัวอย่างคือเหตุการณ์สุ่ม

การทอยเหรียญหนึ่งเหรียญสองครั้ง มีจุดตัวอย่างรวมทั้งหมด 2 จุด

คำถามที่ 3

จงเขียนพื้นที่ตัวอย่างของการทดลองสุ่ม "บันทึกเพศของนักเรียนคนหนึ่ง"

$\Omega = \{\text{ชาย}, \text{หญิง}\}$

$\Omega = \{\text{นักเรียน}\}$

$\Omega = \{\text{ชาย}\}$

$\Omega = \{1, 0\}$

คำถามที่ 4

ในครอบครัวที่มีลูกสองคน ถ้าสังเกตเพศของเด็กทั้งสองคน พื้นที่ตัวอย่าง $\Omega$ คืออะไร?

{(ชาย, ชาย), (หญิง, หญิง)}

{(ชาย, ชาย), (ชาย, หญิง), (หญิง, ชาย), (หญิง, หญิง)}

{2 ชาย, 1 ชาย 1 หญิง, 2 หญิง}

{(ชาย, หญิง)}

คำถามที่ 5

บุคคลหนึ่งยิงเป้า 3 ครั้ง แล้วสังเกตจำนวนครั้งที่เข้าเป้า พื้นที่ตัวอย่างของการทดลองนี้คืออะไร?

{เข้าเป้า, ออกเป้า}

{0, 1, 2, 3}

{1, 2, 3}

{0, 3}

คำถามที่ 6

เมื่อทำการสุ่มลอตเตอรี่ หยิบลูกบอล 1 ลูกจากลูกบอล 10 ลูกที่มีหมายเลข 0 ถึง 9 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีกี่แบบ?

อนันต์หลายแบบ

คำถามที่ 7

สำหรับวงจรขนาน (องค์ประกอบ A, B ขนานกัน) เหตุการณ์ N = "วงจรขาด" ประกอบด้วยจุดตัวอย่างใด? (1 แทนทำงานปกติ, 0 แทนเสียหาย)

{(1, 1)}

{(1, 0), (0, 1)}

{(0, 0)}

{(1, 1), (1, 0), (0, 1)}

คำถามที่ 8

ข้อความใดต่อไปนี้เกี่ยวกับดัชนีมวลกาย (BMI) ผิด?

BMI คือ ย่อมาจากดัชนีมวลกาย

BMI = น้ำหนัก / ส่วนสูง

BMI ≥ 28 ถือว่าอ้วน

18.5 ≤ BMI < 24 ถือว่าปกติ

คำถามที่ 9

เมื่อทอยเหรียญสองเหรียญ ความน่าจะเป็นที่จะได้ "หน้า หนึ่ง หัว อีกอัน" คือเท่าใด?

0.25

0.5

0.75

คำถามที่ 10

หากค่ามัธยฐานของชุดข้อมูลหนึ่งต่ำกว่าค่าเฉลี่ยมาก แสดงว่าข้อมูลอาจมี?

ค่าที่ผิดปกติที่ต่ำ

ค่าที่ผิดปกติที่สูง

ค่ามัธยฐาน

การแจกแจงความถี่สม่ำเสมอ

กรณีศึกษาแบบรวมและโจทย์ท้าทายด้านตรรกะ

งานที่ 1

[งานเขียน] รายงานการวิเคราะห์สถิติดัชนีมวลกายของพนักงาน

ตามข้อมูลดัชนีมวลกายของพนักงานชาย 90 คน และพนักงานหญิง 50 คน (ชาย: 23.5, 21.6, 30.6... หญิง: 21.8, 18.2, 25.2...) โปรดเขียนรายงานสถิติ จำนวนคำขั้นต่ำ 200 คำ

ตัวอย่างคำตอบ:
1. การแสดงข้อมูลแนะนำให้ใช้แผนภูมิฮิสโตแกรมการแจกแจงความถี่เพื่อแสดงการกระจายของดัชนีมวลกายของพนักงานชายและหญิงแยกกัน หรือใช้แผนภูมิกล่องเพื่อเปรียบเทียบ จากข้อมูล ค่าเฉลี่ยดัชนีมวลกายของพนักงานชายประมาณ 24.2 และพนักงานหญิงประมาณ 22.5
2. การเปรียบเทียบความแตกต่างอัตราส่วนของพนักงานชายที่อ้วน (BMI ≥ 24) สูงกว่าพนักงานหญิงอย่างชัดเจน และปรากฏการณ์การอ้วน (BMI ≥ 28) ส่วนใหญ่อยู่ในกลุ่มพนักงานชาย ขณะที่พนักงานหญิงส่วนใหญ่อยู่ในช่วงปกติ มีบางรายอยู่ในภาวะผอม
3. การวิเคราะห์โดยรวมสภาพสุขภาพโดยรวมของพนักงานบริษัทค่อนข้างดี แต่กลุ่มผู้ชายเผชิญกับความเสี่ยงการมีน้ำหนักเกินสูง อาจเกิดจากพฤติกรรมนั่งทำงานนานหรือขาดการออกกำลังกาย
4. ข้อเสนอแนะบริษัทอาจเพิ่มกิจกรรมยืดเหยียดในช่วงพักช่วงเช้า ติดป้ายพลังงานอาหารในโรงอาหาร และจัดกิจกรรมแบดมินตันหรือวิ่งแข่งขันประจำ สนับสนุนให้พนักงานชายควบคุมน้ำหนัก

งานที่ 2

ทบทวนพื้นฐานสถิติ

จงอธิบายสั้น ๆ: (1) แผนภูมิฮิสโตแกรมการแจกแจงความถี่ให้ข้อมูลอะไรได้บ้าง? (2) ค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน ค่ามัธยฐานมีลักษณะอย่างไร? (3) ค่าความแปรปรวนและความเบี่ยงเบนมาตรฐานบ่งบอกอะไร?

คำตอบตัวอย่าง:
(1) แผนภูมิฮิสโตแกรมสามารถมองเห็นแนวโน้มการรวมตัวของข้อมูล ช่วงการเปลี่ยนแปลง และรูปแบบการแจกแจง (เช่น สมมาตรหรือไม่)
(2) แนวโน้มการรวมตัวค่าเฉลี่ยสะท้อนระดับกลาง ได้รับผลกระทบจากค่าที่ผิดปกติ; ค่ามัธยฐานคือค่าที่อยู่กลาง ทนทานต่อการรบกวน; ค่ามัธยฐานสะท้อนค่าที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุด
(3) ระดับความแตกต่างค่าความแปรปรวนและค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐานสะท้อนขนาดของการเปลี่ยนแปลงของข้อมูล ค่าที่มากขึ้น หมายถึงข้อมูลห่างจากจุดกลางมากขึ้น และมีความไม่เสถียร

งานที่ 3

เกมทอยเหรียญสองเหรียญนี้เป็นธรรมไหม?

กฎของเกม: ทอยเหรียญสองเหรียญพร้อมกัน หากได้หน้าทั้งสองหรือหัวทั้งสอง ฝ่าย ก ชนะ; หากได้หน้ากับหัว ฝ่าย ข ชนะ จงพิจารณาและอธิบายเหตุผล

คำอธิบาย:
เกมนี้เป็นธรรม
พื้นที่ตัวอย่าง $\Omega = \{(h, h), (h, t), (t, h), (t, t)\}$ มีจุดตัวอย่างทั้งหมด 4 จุด
เหตุการณ์ที่ฝ่าย ก ชนะ $A = \{(h, h), (t, t)\}$ มีจุดตัวอย่าง 2 จุด ความน่าจะเป็น $P(A) = 2/4 = 0.5$
乙胜的事件 $B = \{(h, t), (t, h)\}$，包含 2 个样本点，概率 $P(B) = 2/4 = 0.5$。
เนื่องจาก $P(A) = P(B)$ ดังนั้นเกมนี้เป็นธรรม

งานที่ 4

เรื่องราวเกี่ยวกับความถี่และความน่าจะเป็น

"ใช้ความถี่ $f_n(A)$ ที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้น เพื่อประมาณความน่าจะเป็น $P(A)$ เมื่อจำนวนการทดลอง $n$ เพิ่มขึ้น ความแม่นยำจะเพิ่มขึ้น" ข้อความนี้ถูกต้องหรือไม่? โปรดยกตัวอย่างอธิบาย

คำอธิบาย:
ข้อความนี้ถูกต้อง เมื่อจำนวนการทดลอง $n$ เพิ่มขึ้น ความถี่ $f_n(A)$ ที่เหตุการณ์สุ่มเกิดขึ้นจะมีเสถียรภาพ คือค่อย ๆ ใกล้เคียงกับความน่าจะเป็น $P(A)$
ตัวอย่างการทอยเหรียญที่สมมาตร 10 ครั้ง อาจได้หน้า 7 ครั้ง (ความถี่ 0.7); ทอย 1,000 ครั้ง จำนวนครั้งที่ได้หน้ามักจะอยู่ที่ประมาณ 500 (ความถี่ใกล้ 0.5); ทอย 100,000 ครั้ง ความถี่จะมีเสถียรภาพสูงมากที่ใกล้ 0.5 นี่ถือเป็นการตีความที่เข้าใจง่ายของกฎของจำนวนมาก

จุดสำคัญหลัก

การทดลองสุ่ม E มาเป็นผู้นำ,พื้นที่ตัวอย่าง $\Omega$ รวมดวงดาวทั้งหมดแต่ละผลลัพธ์ $\omega$ จุด,ภาษาเซต บรรยายความจริง。

💡 วิธีการตรวจสอบทุกกรณีของพื้นที่ตัวอย่าง

เมื่อแจกแจงพื้นที่ตัวอย่าง ควรจัดเรียงตามลำดับที่กำหนด (เช่น ลำดับพจนานุกรมหรือแผนผังต้นไม้) เพื่อป้องกันการพลาดหรือซ้ำ

💡 การประเมินความเป็นไปได้เท่ากัน

ในแบบจำลองคลาสสิก ความน่าจะเป็นที่จุดตัวอย่างแต่ละจุดจะเกิดขึ้นต้องเท่ากัน หากเหรียญไม่สมมาตร พื้นที่ตัวอย่างยังคงเป็น {h, t} แต่ไม่ใช่ความน่าจะเป็นเท่ากันอีกต่อไป

💡 ความเป็นไปได้ในการอนุมานทางสถิติ

การประมาณประชากรจากตัวอย่างมีความเสี่ยง แม้ตัวอย่างจะแสดงอัตราการอ้วน 20% แต่อัตราจริงอาจเบี่ยงเบนเล็กน้อย นี่คือความเป็นไปได้ของสถิติ

💡 ความหมายของดัชนีมวลกาย

ดัชนีมวลกายเป็นตัวชี้วัดง่ายๆ สำหรับประเมินโภชนาการและสุขภาพของกลุ่ม แต่สำหรับนักกีฬาที่มีกล้ามเนื้อแน่น ค่าดัชนีมวลกายอาจสูงเกินจริง จึงควรพิจารณาควบคู่กับเปอร์เซ็นต์ไขมันในร่างกาย

💡 ความถี่เทียบกับความน่าจะเป็น

ความถี่เป็นสิ่งสุ่มและสังเกตได้ ความน่าจะเป็นเป็นสิ่งแน่นอนและอยู่บนพื้นฐานทฤษฎี ความถี่จะเข้าใกล้ความน่าจะเป็นในจำนวนการทดลองที่มาก